[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.1 Jeżeli estymator Tn parametru � jest zgodny, to jest asymptotycznie nieobciążony.Twierdzenie 4.2 Jeżeli estymator Tn parametru � jest nieobciążony (asymptotycznie nieobciążony) oraz lim D2(Tn) = 0,n�!"to Tn jest zgodny.1 rDefinicja 4.6 Dany jest zbiór wszystkich nieobciążonych estymatorów T ,n ,., Tn parametru �.Estymator Tn z tego zbioruio własności D2(Tn) D2(Tn) dla i = 1,., r nazywamy najefektywniejszym estymatorem parametru �.Natomiast wielkośćD2(Tn)ie(Tn) = (4.1)iD2(Tn)iefektywnością estymatora Tn parametru �.Twierdzenie 4.3 (Nierówność Rao - Cramera)1D2(Tn) (4.2)2 = D2(Tn)" ln f(x,�)nE"�Przykład 4.5 Udowodnimy, że średnia arytmetyczna z próby jest estymatorem najefektywniejszym dla wartości oczekiwanej.Dowód przeprowadzimy dla populacji generalnej o rozkładzie normalnym N(m, �).Mamy1 (x - m)2"f(x, m) = exp -.2�22��Wtedy"(x - m)2ln f(x, m) = - ln( 2��) -.2�2Stąd" ln f(x, �) x - m= ,"� �2a więc2" ln f(x, �) 1E =."� �2I ostatecznie1 �2D2(Tn) =.2 =n" ln f(x,�)nE"��2Ponieważ D2(Xn) = , więc dowód jest zakończony.nDefinicja 4.7 Mówimy, że estymator Tn parametru � jest asymptotycznie najefektowniejszy wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzirówność lim e(Tn) = 1.n�!"14Wykład 52003.03.18 /2h5.1 Metody konstrukcji estymatorów5.1.1 Metoda momentówMomenty zwykłe i centralne można przedstawić jako pewne funkcje parametrów rozpatrywanego układu.Otrzymujemy układrównań���1 = g1(�1,., �r)���������2 = g2(�1,., �r), (5.1)��.����ó��r = gr(�1,., �r)gdzie �i dla i = 1,., r są momentami zwykłymi lub centralnymi tak dobranymi aby układ ten miał jednoznaczne rozwiązaniewzględem parametrów �1,., �r.Ponadto za �i podstawiamy momenty z próby.Przykład 5.1 Niech populacja generalna ma rozkład wykładniczy f(x, �) = �e-�xI]0,+"[ dla � > 0.Wyznaczymy metodąmomentów estymator parametru �.1Ponieważ mamy tylko jeden parametr, więc bierzemy dokładnie jedno równanie.Ponieważ m1 = E(X) =.Wtedy�n1mP = Xi = X, a stąd1ni=11�� =.XPrzykład 5.2 Niech populacja generalna ma rozkład normalny N(m, �).Wyznaczymy metodą momentów estymatory para-metrów m i �.Zauważmy, że m1 = E(X) oraz m2 = �2 + m2, gdzie �2 jest momentem centralnym rzędu 2.Układamy układ równań.1���� mP = X1n.1 2ó� mP = Xi2ni=1Wtedym = mP = X�1n12��2 = Xi - (X)2 a" s2�ni=1Uwaga 5.1 Wadą tej metody jest niemożliwość określenia własności estymatorów.5.1.2 Metoda największej wiarygodnościNiech funkcja prawdopodobieństwa zależy od nieznanych parametrów �1,., �r Mamy p(x, �1,., �r) i f(x, �1,., �r).15Definicja 5.1 Funkcją wiarygodności dla zmiennej dyskretnej nazywamy funkcję postacinL((x1,., xn; �1,., �r) = p(xi, �1,., �r).(5.2)i=1Funkcją wiarygodności dla zmiennej ciągłej nazywamy funkcję postacinL((x1,., xn; �1,., �r) = p(xi, �1,., �r).(5.3)i=1Etapy konstruowania estymatorów1.Określenie funkcji L.2.Wyznaczenie ln L." ln L3.Obliczanie dla i = 1,., n."�i" ln L4.Rozwiązanie układu równań = 0 dla i = 1,., n."�iPrzykład 5.3 Zmienna losowa ma rozkład Bernoulliego.Stosując metodę największej wiarygodności wyznaczymy estymatorparametru p.Przyjmiemy konwencję x = (x1,., xn).Mamynni iL(x, p) = px (1 - p)n-xxii=1n n nnln L(x, p) = ln + xi ln p + (n - xi) ln(1 - p)xi i=1i=1 i=1n n" ln L 1 1= xi - (n - xi)"p p 1 - pi=1 i=1Rozwiązując równanie otrzymujemyXp =.(5.4)�nPrzykład 5.4 Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, �).Metodą największej wiarygodności wyznaczymy estyma-tory parametrów m i �.Mamyn1 1L(x, p) = " exp - (xi - m)22�2(� 2�)ni=1n" "1ln L(x, p) = -n ln �2 - n ln 2� - (xi - m)22�2i=1n" ln L 1 n � m= xi -"m �2 �2i=1n(xi - m)2" ln L -ni=1= +"�2 2�2 2(�2)2Rozwiązując układ równań otrzymujemyn1m = Xi = X (5.5)�ni=1n1��2 = (Xi - X)2.(5.6)ni=1Własności estymatorów otrzymanych metodą największej wiarygodności161.Są zgodne.2" ln f(x,�)2.Mają asymptotyczny rozkład normalny o wartości oczekiwanej � i wariancji nE."�3.Są co najmniej asymptotycznie nieobciążone.4.Jeżeli istnieje estymator najefektywniejszy, to jest otrzymywany tą metodą.� �5.Jeżeli � jest estymatorem otrzymanym tą metodą, to estymator g(�) otrzymamy metodą największej wiarygodnościdla parametru g(�).5.1.3 Metoda najmniejszych kwadratówSzacując wartość średnią na podstawie próby możemy zapisaćXi = m - i.Jako estymator średniej bierzemy taką wartość m, dla której wyrażenie�n n2 = (xi - m)2 (5.7)ii=1 i=1jest najmniejsze.Wtedy obliczając pochodną względem m otrzymujemyn1m = Xi.�ni=117Wykład 62003.03.25 /2h6.1 Estymacja przedziałowaNiech cecha X ma w populacji rozkład z nieznanym parametrem �.Załóżmy, że na podstawie losowej próby (X1,., Xn)pochodzącej z tej populacji można wyznaczyć dwie funkcje �(X1,., Xn) i �(X1,., Xn) takie, że dla każdej realizacji(x1,., xn) mamy� [ Pobierz całość w formacie PDF ]